Bayangkan udara di sekitar Anda. Di setiap titik dalam ruangan, udara memiliki kecepatan tertentu—arah gerakannya dan kelajuannya. Ini adalah medan vektor. Berbeda dengan medan skalar yang hanya memberi tahu suhu di setiap titik, medan vektor "mengisi" ruang dengan panah yang menggambarkan fenomena fisika dinamis seperti angin, arus laut, atau tarikan gravitasi yang tak terlihat.
Definisi Formal
Untuk menganalisis bidang-bidang ini secara matematis, kita menggunakan definisi dasar berikut:
Definisi 1 (Medan Vektor 2D): Misalkan $D$ adalah himpunan dalam $\mathbb{R}^2$. Medan vektor pada $\mathbb{R}^2$ adalah fungsi $\mathbf{F}$ yang memberikan vektor dua dimensi kepada setiap titik $(x, y)$ di $D$:
$$\mathbf{F}(x, y) = P(x, y)\mathbf{i} + Q(x, y)\mathbf{j} = \langle P(x, y), Q(x, y) \rangle$$
di mana $P$ dan $Q$ adalah medan skalar (fungsi dari dua variabel).
Definisi 2 (Medan Vektor 3D): Untuk subset $E$ dari $\mathbb{R}^3$, medan didefinisikan sebagai: $$\mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k}$$
Definisi 2 (Medan Vektor 3D): Untuk subset $E$ dari $\mathbb{R}^3$, medan didefinisikan sebagai: $$\mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k}$$
Interpretasi Fisika
- Medan Kecepatan: Mewakili aliran fluida atau pola angin. Sebagai contoh, Gambar 1 menunjukkan pola angin di Teluk San Francisco, sedangkan Gambar 13 memodelkan aliran fluida melalui pipa yang menyempit.
- Medan Gaya:Hukum Gravitasi Newton mendefinisikan medan di mana besarannya $|\mathbf{F}| = \frac{mMG}{r^2}$. Dalam bentuk vektor: $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = -\frac{mMG}{|\mathbf{x}|^3}\mathbf{x}$. Catatan: Fisikawan sering menggunakan $\mathbf{r}$ daripada $\mathbf{x}$.
- Medan Listrik: Didefinisikan sebagai $\mathbf{E}(\mathbf{x}) = \frac{\varepsilon Q}{|\mathbf{x}|^3}\mathbf{x}$, yang mewakili gaya per satuan muatan.
Geometri Medan Gradien
Jika $f$ adalah fungsi skalar, gradiennya $\nabla f$ menciptakan jenis khusus medan vektor. Dalam 3D, ini dinyatakan sebagai:
$$\nabla f(x, y, z) = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}$$☸ Wawasan Geometris
Seperti yang ditunjukkan pada Gambar 15, vektor gradien selalu tegak lurus terhadap kurva tingkat (atau permukaan tingkat) dari fungsi asli $f$ dan mengarah ke arah peningkatan terbesar.
Contoh 1: Medan Putar
Pertimbangkan $\mathbf{F}(x, y) = -y\mathbf{i} + x\mathbf{j}$. Pada $(1, 0)$, kita peroleh $\langle 0, 1 \rangle$. Pada $(0, 1)$, kita peroleh $\langle -1, 0 \rangle$. Menggambar titik-titik ini menunjukkan aliran melingkar di sekitar asal—dasar matematis untuk memodelkan vorteks dan rotasi mekanik.